[Algorithm] 클루스칼 알고리즘 (Kruskal Algorithm)

1. 신장트리란?

• 그래프에서 1) 모든 노드를 포함하면서 2) 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미
• 이는 트리의 조건이기도 함

2 . 최소신장트리

• 최소의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때
• N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결 될 수 있게 도로를 설치하는 경우

3. 크루스칼 알고리즘

• 가장 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
• 그리디 알고리즘으로 분류
• 동작 과정
  • 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
  • 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
    사이클이 발생하지 않는 경우 → 최소 신장 트리에 포함
    사이클이 발생하는 경우 → 최소 신장 트리에 포함 X
  1. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복
• 결론 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당

#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	#루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
	if parent[x] != x:
		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
	return parent[x]

#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
	b = find_parent(parent, b)
	if a < b:
		parent[b] = a
	else:
		parent[a] = b

#노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화하기

#모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i

#모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
	a, b, cost = map(int, input().split())
	#비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
	#튜플에서는 첫번째 원소를 기준으로 정렬함
	edges.append((cost,a,b))

#간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

#간선을 하나씩 확인하여
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
	#사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
	if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
		union_parent(parent, a, b)
		result +=cost

print(result)

4. 성능분석

• 간선의 개수가 N개일 때, O(NlogN)의 시간 복잡도를 가짐
• 가장 많은 시간 걸리는 곳: 간선정렬수행 부분
  • sort()를 이용해 N개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(NlogN)

5. 참고자료

https://www.youtube.com/watch?v=Gj7s-Nrt1xE